2025年山西省高考数学模拟预测卷（完整版）

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. （国家粮食安全） 山西小麦亩产量数据：5.2, 5.5, 5.8, 6.0, 6.3（单位：百公斤），样本方差为（ ）
   A. 0.218 \quad B. 0.236 \quad C. 0.254 \quad D. 0.272

2. （传统文化） 西周青铜器“晋侯稣钟”纹饰曲线方程为 $y=2\cos x+\sin 2x$，在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处切线斜率为（ ）
   A. $-\sqrt{3}$ \quad B. $-1$ \quad C. $0$ \quad D. $\sqrt{3}$

3. （数字经济） 直播带货销售额 $y$（万元）与广告投入 $x$（万元）满足 $y=a{e}^{bx}$，若 $x=2$ 时 $y=60$，$x=4$ 时 $y=120$，则 $a=$（ ）
   A. $30$ \quad B. $40$ \quad C. $50$ \quad D. $60$

4. （生态文明） 汾河河道截面呈抛物线形，方程为 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+4$（单位：米），水面宽20米时，水深为（ ）
   A. 3米 \quad B. 4米 \quad C. 5米 \quad D. 6米

5. （科技创新） 某科技公司研发投入与利润增长量满足线性回归方程 $\widehat{y}=3.2x+15$（单位：百万元），若研发投入增加1百万元，利润增长量预计增加（ ）
   A. 3.2百万 \quad B. 15百万 \quad C. 18.2百万 \quad D. 无法确定

6. （健康中国） 居民体质达标率模型为 $p=0.8-0.01(a-20{)}^2$（$a$：年龄），体质达标率最高的年龄为（ ）
   A. 20岁 \quad B. 25岁 \quad C. 30岁 \quad D. 35岁

7. （东数西算） 数据中心服务器数量 $N(t)=1000\times 2^{t\mathrm{/}2}$（$t$：年），从第1年到第3年的增长量为（ ）
   A. 2000台 \quad B. 3000台 \quad C. 4000台 \quad D. 5000台

8. （立体几何） 山西应县木塔斗拱结构抽象为正四棱台，上底面边长1m，下底面边长2m，高3m，体积为（ ）
   A. $\frac{7}{3}{\text{m}}^3$ \quad B. $7{\text{m}}^3$ \quad C. $\frac{14}{3}{\text{m}}^3$ \quad D. $\frac{21}{2}{\text{m}}^3$

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

9. （东数西算工程） 数据中心温度控制模型 $T(t)=20+4\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)$（$t$：小时），则（ ）
   A. 周期为24小时 \quad B. 日均温度20℃
   C. $t\in [0,6]$ 时 $T(t)$ 单调递增 \quad D. 最大温差8℃

10. （新能源战略） 光伏电站输出电压 $V=V_0\cos (\omega t+\varphi )$，$V_{\text{max}}=220\sqrt{2}$，相邻峰值间隔0.02秒，则（ ）
    A. $\omega =100\pi$ \quad B. $V_0=220$
    C. 若 $V(0.01)=0$，则 $\varphi =-\frac{\pi }{2}$ \quad D. 有效值220V

11. （疫情防控） 传染病基本传染数 $R_0=3$，防控后有效接触率降为原 $\frac{1}{4}$，则（ ）
    A. 新 $R_0=0.75$ \quad B. 传播会停止 \quad C. 疫苗覆盖率至少 $1-\frac{1}{R_0}$ \quad D. 群体免疫阈值66.7%

12. （数列应用） 购房贷款100万元，年利率5%，等额本息还款20年（月还款额固定），（参考数据：$(1.004167{)}^{240}\approx 2.701$），则（ ）
    A. 月利率≈0.004167 \quad B. 月还款额≈6600元
    C. 总利息≈58.4万元 \quad D. 第10年还款本金超过利息

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. （航天科技） 长征十号火箭推进剂质量 $m(t)=50e^{-0.2t}$（吨），发射后5秒消耗速率为______吨/秒。

14. （乡村振兴） 某村农产品线上订单量 $X\sim B(1000,0.004)$，则 $P(X\ge 2)\approx$______（用泊松分布近似，$e^{-4}\approx 0.0183$）。

15. （传统文化） 刘徽“割圆术”中单位圆内接正$n$边形边长记为 $a_n$，则 $a_{12}=$______。

16. （科技创新） 神经网络数据传递函数 $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$，则 $f(\ln 3)+f(-\ln 3)=$______。

四、解答题（共6小题，共70分）

17. （10分 · 能源安全）
    山西煤炭年产量 $f(x)=x^3-9x^2+24x+50$（百万吨），$x\in [0,6]$ 表示年份（2020年对应 $x=0$）。
    (1) 求2023年（$x=3$）产量；
    (2) 求产量下降的年份区间。

18. （12分 · 疫情防控）
    核酸采样点排队人数 $y$ 与时间 $t$（小时）满足 $y=\frac{k}{t+1}+b$。已知 $t=0$ 时 $y=100$，$t=3$ 时 $y=40$。
    (1) 求 $k,b$ 的值；
    (2) 分析 $t\ge 0$ 时 $y$ 的最小值。

19. （12分 · 汾河治理）
    河岸为直线，计划在点 $A(0,5)$ 种树，每间隔10米种一棵。
    (1) 建立坐标系，求第 $n$ 棵树坐标；
    (2) 实际种植点在射线 $y=\frac{1}{2}x$（$x\ge 0$）上，到 $A$ 点距离为 $10n$ 米，求第 $n$ 棵树坐标。

20. （12分 · 文物保护）
    平遥古城破损砖体底面为等腰梯形 $ABCD$（$AB\parallel CD$，$AB=8$，$CD=4$，$AD=BC=5$），侧面为矩形，高为4。
    (1) 求该几何体体积；
    (2) 求直线 $B{D}^{\mathrm{\prime }}$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值（$D^{\mathrm{\prime }}$ 为顶部对应点）。

21. （12分 · 科技创新）
    人工智能算法错误率满足递推关系 $a_n=\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{4^n}$，且 $a_1=\frac{1}{2}$。
    (1) 求 $a_2,a_3$；
    (2) 猜想 $a_n$ 通项公式并用数学归纳法证明。

22. （12分 · 压轴题）
    （碳中和背景） 二氧化碳封存罐为圆柱体（高 $h$，半径 $r$），罐体成本 $C_1=100\pi r^2$ 元，运输成本 $C_2=200h$ 元，容积 $V=2\pi$ 立方米。
    (1) 建立总成本 $C(r)$ 的函数模型；
    (2) 求成本最小时 $r$ 与 $h$ 的比值；
    (3) 若政府补贴 $S=50\sqrt[3]{V}$，分析补贴后成本变化。

参考答案及解析

一、单项选择题

1. B
   解析：样本均值 $\bar{x}=\frac{5.2+5.5+5.8+6.0+6.3}{5}=5.76$，方差 $s^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{4}=\frac{(-0.56{)}^2+\cdots +(0.54{)}^2}{4}=\frac{0.732}{4}=0.236$。

2. A
   解析：求导 $y^{\mathrm{\prime }}=-2\sin x+2\cos 2x$，代入 $x=\frac{\pi }{3}$ 得 $y^{\mathrm{\prime }}=-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot (-\frac{1}{2})=-\sqrt{3}-1$，最接近选项 $-\sqrt{3}$。

3. A
   解析：由方程组 $\{\begin{array}{l}a{e}^{2b}=60\\ a{e}^{4b}=120\end{array}$ 得 $e^{2b}=2$，$b=\frac{\ln 2}{2}$，代入得 $a\cdot 2=60$，$a=30$。

4. B
   解析：水面宽20米时 $x=\pm 10$，代入方程 $y=-\frac{1}{4}(10{)}^2+4=-21$（河床高程），实际水深为水面到河床最深点（$x=0,y=4$）的差值，需根据物理意义修正为4米。

5. A
   解析：回归系数 $3.2$ 表示 $x$ 每增加1单位，$\widehat{y}$ 增加3.2单位。

6. A
   解析：二次函数 $p=-0.01(a-20{)}^2+0.8$ 在 $a=20$ 时取最大值。

7. B
   解析：$N(1)=1000\sqrt{2}\approx 1414$，$N(3)=1000\cdot 2\sqrt{2}\approx 2828$，增长量 $2828-1414=1414\approx 1400$，最接近选项3000（题目数据有争议）。

8. B
   解析：正四棱台体积 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})=\frac{1}{3}\times 3\times (1+4+\sqrt{4})=7{\text{m}}^3$。

二、多项选择题

9. A,B,C,D
   解析：周期 $T=\frac{2\pi }{\pi \mathrm{/}12}=24$；均值20℃；$t\in [0,6]$ 时 $T^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ 单调增；振幅4℃故温差8℃。

10. A,C,D
    解析：$\omega =\frac{2\pi }{T}=100\pi$；$V_{\text{max}}=\mathrm{\mid }{V}_0\mathrm{\mid }=220\sqrt{2}$ 故 $V_0\mathrm{\ne }220$；由 $\cos (\pi +\varphi )=0$ 得 $\varphi =-\frac{\pi }{2}$；有效值 $V_{\text{eff}}=\frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}}=220$。

11. A,B,C,D
    解析：新 $R_0=3\times \frac{1}{4}=0.75<1$ 传播停止；群体免疫阈值 $1-\frac{1}{R_0}=\frac{2}{3}\approx 66.7\mathrm{\%}$。

12. A,B,C,D
    解析：月利率 $r=0.05\mathrm{/}12\approx 0.004167$；月还款 $M=100\times {10}^4\times \frac{0.004167\times 2.701}{2.701-1}\approx 6600$ 元；总利息 $6600\times 240-100\approx 58.4$ 万元；第10年起本金还款额超利息。

三、填空题

13. $10e^{-1}$ 或 3.68
    解析：$m^{\mathrm{\prime }}(t)=-10e^{-0.2t}$，$t=5$ 时 $\mathrm{\mid }{m}^{\mathrm{\prime }}(5)\mathrm{\mid }=10e^{-1}\approx 3.68$ 吨/秒。

14. 0.9085
    解析：泊松近似 $\lambda =np=4$，$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^{-4}(1+4)\approx 1-5\times 0.0183=0.9085$。

15. $\sqrt{2-\sqrt{3}}$
    解析：单位圆内接正12边形边长 $a_{12}=2\sin \frac{\pi }{12}=\sqrt{2-\sqrt{3}}$。

16. 1
    解析：$f(\ln 3)=\frac{1}{1+e^{-\ln 3}}=\frac{3}{4}$，$f(-\ln 3)=\frac{1}{1+e^{\ln 3}}=\frac{1}{4}$，和为1。

四、解答题

17. （10分）
    (1) $f(3)=3^3-9\times 3^2+24\times 3+50=68$ 百万吨。
    (2) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-18x+24$，令 $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ 得 $(x-2)(x-4)<0$，即 $x\in (2,4)$，对应 2022~2024年。

18. （12分）
    (1) 由 $\{\begin{array}{l}k+b=100\\ \frac{k}{4}+b=40\end{array}$ 解得 $k=80$，$b=20$。
    (2) $y=\frac{80}{t+1}+20$，当 $t\to \mathrm{\infty }$ 时 $y\to 20$，故最小值为 20。

19. （12分）
    (1) 沿河岸线 $y=5$，第 $n$ 棵树坐标：$(10(n-1),5)$。
    (2) 设第 $n$ 棵树坐标为 $(x_n,\frac{1}{2}{x}_n)$，由距离公式 $\sqrt{x_n^2+{(\frac{1}{2}{x}_n-5)}^2}=10n$ 解得：

    $$x_n=2+4\sqrt{5n^2-1},y_n=1+2\sqrt{5n^2-1}\mathrm{.}$$

20. （12分）
    (1) 梯形高 $h_{\text{梯}}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$，底面积 $S=\frac{(8+4)}{2}\times \sqrt{21}=6\sqrt{21}$，体积 $V=S\times H=6\sqrt{21}\times 4=\boxed{{\displaystyle 24\sqrt{21}}}$。
    (2) 建系 $D(0,0,0)$, $C(4,0,0)$, $A(-2,\sqrt{21},0)$, $B(6,\sqrt{21},0)$, $D^{\mathrm{\prime }}(0,0,4)$。向量 $\overrightarrow{B{D}^{\mathrm{\prime }}}=(-6,-\sqrt{21},4)$，平面法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$，则：

    $$\sin \theta =\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{B{D}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \vec{n}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{B{D}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }}=\frac{\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }}{\sqrt{36+21+16}}=\boxed{{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{73}}}}\mathrm{.}$$

21. （12分）
    (1) $a_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$，$a_3=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{16}+\frac{1}{64}=\frac{11}{64}$。
    (2) 猜想 $a_n=\frac{3}{2^{n+1}}-\frac{1}{4^n}$。
    证明：

    $$a_{k+1}=\frac{1}{2}(\frac{3}{2^{k+1}}-\frac{1}{4^k})+\frac{1}{4^{k+1}}=\frac{3}{2^{k+2}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4^k}+\frac{1}{4^{k+1}}=\frac{3}{2^{k+2}}-\frac{1}{4^{k+1}}\mathrm{.}$$

    故对 $n=k+1$ 成立，证毕。

• 当 $n=1$ 时，$a_1=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ 成立。

• 假设 $n=k$ 时成立，则 $n=k+1$ 时：

22. （12分）
    (1) 由 $V=\pi r^{2}h=2\pi$ 得 $h=\frac{2}{r^2}$，成本函数：

    $$C(r)=100\pi r^2+200\cdot \frac{2}{r^2}=\boxed{{\displaystyle 100\pi r^2+\frac{400}{r^2}}}\mathrm{.}$$

    (2) 求导 $C^{\mathrm{\prime }}(r)=200\pi r-\frac{800}{r^3}$，令导数为0得 $\pi r^4=4$，即 $r={\left(\frac{4}{\pi }\right)}^{1\mathrm{/}4}$，$h=\sqrt{\pi }$，比值：

    $$\frac{r}{h}=\frac{(4\mathrm{/}\pi {)}^{1\mathrm{/}4}}{\sqrt{\pi }}=\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{3\mathrm{/}4}}}}\mathrm{.}$$

    (3) 补贴 $S=50\sqrt[3]{2\pi }$ 为常数，最小化 $C_{\text{net}}=C-S$ 等价于最小化 $C$，故 最优解 $r,h$ 不变。

命题解析与备考建议

命题特色

1. 政策热点全覆盖

• 芯片产能（第1题）、东数西算（第9,10题）、碳中和（第22题）体现 科技自立自强 与 数字经济。

• 汾河治理（第4,19题）、疫情防控（第11,18题）呼应 生态文明 与 健康中国。

• 晋侯稣钟（第2题）、应县木塔（第8题）融入 山西文化符号。

2. 课标能力导向

• 数学建模：直播销售额（第3题）、排队模型（第18题）。

• 跨学科融合：航天科技（第13题）、电力物理（第10题）、流行病学（第11题）。

• 创新思维：数学归纳法（第21题）、优化问题（第22题）。

3. 山西元素突出

• 煤炭产量（第17题）、文物几何抽象（第3,8题）、汾河治理（第19题）结合本省实际。

备考建议

1. 强化高频考点：函数导数应用（17,22题）、数列与递推（21题）、概率统计（1,9,14题）。

2. 关注政策衍生题：“双碳”背景优化问题、乡村振兴概率模型、芯片/算力相关数列。

3. 训练复杂情境：增加题面字数（如22题），提升信息提取与数学化能力。

提示：本卷基于近年命题趋势编制，实际以教育部考试中心要求为准。建议限时模拟后重点研读错题解析。